已知定义在R上的函数f(x)满足:①函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称;②对∀x∈R,f(3/4−x)=f(3/4+x)成立;③当x∈(−3/2,−3/4]时,f(x)=log2(-3x+
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已知定义在R上的函数f(x)满足:①函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称;②对∀x∈R,f(3/4−x)=f(3/4+x)成立;③当x∈(−3/2,−3/4]时,f(x)=log2(-3x+
题目
已知定义在R上的函数f(x)满足:①函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称;②对∀x∈R,
f(
3
4
−x)=f(
3
4
+x)
答案
由于函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
故可得f(1+x-1)+f(1-x-1)=0,
即f(x)=-f(-x)对任何x都成立,
由②得出
f(−x)=f(
3
2
+x)
∴
f(
3
2
+x)=−f(x)
∴f(3+x)=f(x),f(x)是周期为3的周期函数,
则f(2011)=f(1)=-f(-1)=-log
2
4=-2,
故答案为:-2
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