已知关于x的三次多项式除以x²-1,余式是4x+4,除以x²-4时,余式是7x+13.

题目

已知关于x的三次多项式除以x²-1,余式是4x+4,除以x²-4时,余式是7x+13.
求这个三次多项式,并因式分解

答案

设多项式除以 x^2-1 的商为 ax+b 【∵多项式为三次式,除以二次式以后商只能是一次式】 ；除以 x^2-4 的商为 cx+d
则 (x^2-4)(cx+d)+7x+13=(ax+b)(x^2-1)+4x+4
=> cx^3-4cx+dx^2-4d+7x+13=ax^3+bx^2-ax-b+4x+4
=> cx^3+dx^2+(7-4c)x+(13-4d) =ax^3+bx^2+(4-a)x+(4-b)
=> c=a ； d=b；7-4c=4-a ；13-4d=4-b
=> a=c=1 ,b=d=3
所以,这个三次多项式为 x^3+3x^2+3x+1 因式分解,原式=（x+1)^3