已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

题目

已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

答案

设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）或

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知条件得

2a＝5+3 (2c)2＝52−32

，
a=4，c=2，b²=12．
故所求方程为

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．

先假设出椭圆的标准形式，再由P到两焦点的距离分别为5、3得到2a=5+3得到a的值，结合过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，可求得c的值，进而可求得椭圆的方程．

本题考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查椭圆的基本性质的运用．椭圆的基本性质是高考的重点内容，一定要熟练掌握并能够灵活运用．