设 a_n>0 ,n*a_n=0 (n->无穷大),那么 正项级数 sigma a_n (n 从1到无穷大) 是否收敛?

题目

设 a_n>0 ,n*a_n=0 (n->无穷大),那么 正项级数 sigma a_n (n 从1到无穷大) 是否收敛?
如题所述,问是级数是否收敛?是说明理由,不是举出反例

答案

收敛
设数列前n项和为sn
只需证明s2n-sn在n->无穷大时等于0就可以
s2n-sn=a(n+1)+a(n+2)+.+a2n
=[a(n+1)+a(n+2)+.+a2n]*n/n
=[n*a(n+1)+n*a(n+2)+.+n*a2n]/n