.已知函数 y=2/3x的3次方+1/3 （1） 求曲线在点P（1,1）处的切线方程 （2）求倾斜角为排/4的切线方程

题目

.已知函数 y=2/3x的3次方+1/3 （1） 求曲线在点P（1,1）处的切线方程 （2）求倾斜角为排/4的切线方程
（3） 求曲线过点（1,1）的切线方程

答案

y=2/3x^3+1/3
求导得到y‘=2x^2
(1)令x=1 故k=y'=2 ,y=1
所以曲线在点P（1,1）处的切线方程是y=2x-1
（2）倾斜角为π/4 故k=tanπ/4=1
所以2x^2=1 x=√2/2或-√2/2
带入到y中,得到相应的y是√2/6+1/3或-√2/6+1/3
所以切线方程是y=x-√2/3+1/3或x-2√2/3+1/3
（3）当（1,1）是切点时,同（1）y=2x-1
当（1,1）不是切点时,设（x0,y0）为切点
得到y=2x0^2（x-x0）+y0=2x0^2（x-x0）+2/3x0^3+1/3
将（1,1）代入,得到（x0-1）（2x0^2-x0-1）=0
得到（x0-1）^2(2x0+1)=0
故x0=-1/2
得到此时的切线方程是y=1/2x+1/2
综合得到曲线过点（1,1）的切线方程是y=1/2x+1/2或y=2x-1