已知抛物线y2=2px(p>0)与直线y=-x+1相交于A、B两点,以弦长AB为直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程.
题目
已知抛物线y2=2px(p>0)与直线y=-x+1相交于A、B两点,以弦长AB为直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程.
答案
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
y=-x+1,
x=1-y,
则:y
2=2p(1-y),
y
2+2py-2p=0,
y
1+y
2=-2p,y
1y
2=-2p,
x
1x
2=(1-y
1)(1-y
2)=1-(y
1+y
2)+y
1y
2=1+2p-2p=1.
∵以弦AB为直径的圆恰好过原点,
∴OA⊥OB,
∴x
1x
2+y
1y
2=0
∵x
1x
2+y
1y
2=1-2p=0
∴p=
.
∴抛物线的方程为:y
2=x.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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