如图,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB>AC,求证:BE-AC=AE.
题目
如图,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB>AC,求证:BE-AC=AE.
答案
证明:作DG⊥AC,连接BD、CD,
∵AD是外角∠BAG的平分线,DE⊥AB,
∴∠DAE=∠DAG,
则在△ADE与△ADG中,
∴△ADE≌△ADG(AAS),
∴AE=AG,
∵DF是BC的中垂线,
∴BD=CD,
∴在Rt△BED和Rt△CGD中,
,
∴Rt△BED≌Rt△CGD(HL),
∴BE=CG=AC+AG,AG=AE,
∴BE-AC=AE.
作DG⊥AC,连接BD、CD,易证△ADE≌△ADG,得AE=AG,只要再证明△BED≌△CGD,即可得到;
全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质,考查了学生综合运用知识解决问题的能力,作辅助线构建全等三角形,是解答本题的关键.
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