z/z-2为纯虚数,求复数z在复平面内对应点M的轨迹及直角坐标方程,并求z-3的模的取值

题目

z/z-2为纯虚数,求复数z在复平面内对应点M的轨迹及直角坐标方程,并求z-3的模的取值

答案

令z=a+bi
z/(z-3)=(a²-3a+b²)/[(a-3)²+b²]
因为是纯虚数
所以a²-3a+b²=0
所以z=bi/a
所以方程x²-3x+y²=0①
|z-3|=|a-3+bi|
所以模长y=√[(a-3)²+b²]
由①:a²-3a+b²=0
即y=√[2a²-9a+9]
因为a∈[0,3]
所以得到y=0只能有一个值