若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值

题目

若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值

答案

答：y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值=a^2+（√2）*a +1/2
当0√2时,m=-√2,y有最小值=a^2-（√2）*a+1/2
设m=sinx+cosx
m^2=（sinx+cosx）^2=（sinx）^2+（cosx）^2+2sinx*cosx
=1+2sinx*cosx
sinx*cosx=(m^2-1)/2
m^2=1+2sinx*cosx=1+sin2x≤2
m的最大值=√2
m的最小值=-√2
Y=(a + sin x)*(a + cos x)
=a^2+sinxcosx+a（sinx+cosx）
=a^2+(m^2-1)/2+am
=1/2（m+a）^2+(a^2-1)/2
（1）最大值
m=√2 时,y有最大值=a^2+（√2）*a +1/2
（2）最小值
因a>0,
当0√2时,m=-√2,y有最小值=a^2-（√2）*a+1/2
注意本题最易出错的地方：a>0,如a=100,y有最小值=(a^2-1)/2就是错误的,因为m最小=-√2,显然m=-100是错误的.