已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE

题目

已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE
且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图,试说明MN²=AM²+BN²的理由.

答案

将△ACM沿直线CE对折,得 △DCM,连DN,则△DCM≌△ACM
有CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又由CA=CB,得CD=CB
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
得∠DCN=∠BCN
又CN=CN,
∴ △CDN≌△CBN
有DN=BN,∠CDN=∠B
∴ ∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°
∴在Rt△MDN中,由勾股定理,
得MN2=DM2+DN2 即MN2=AM2+BN2