已知抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

题目

已知抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=-x+1，
x=1-y，
则：y²=2p（1-y），
y²+2py-2p=0，
y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-2p，
x₁x₂=（1-y₁）（1-y₂）=1-（y₁+y₂）+y₁y₂=1+2p-2p=1．
∵以弦AB为直径的圆恰好过原点，
∴OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x₁x₂+y₁y₂=1-2p=0
∴p=

1

2

．
∴抛物线的方程为：y²=x．