用向量的方法证明经过一个平面的垂线的平面垂直于该平面

题目

用向量的方法证明经过一个平面的垂线的平面垂直于该平面

答案

已知：平面α,β,直线AB⊥平面α,且AB∈平面β,
求证：平面α⊥平面β
证明：设平面α法向量n1,(n1有无数个）平面β法向量n2,
∵向量AB⊥平面α,n1⊥平面α,
∴向量n1//AB,
设AB=λn1,λ为非0常数,
∵AB∈平面β,
∴n2⊥AB,
∴n2·AB=0,
∴n2·λn1=0,
∵λ≠0,
∴n2·n1=0,
∴平面α⊥平面β.