一个很有趣的数学题

题目

一个很有趣的数学题
在同一个平面上的两个等腰三角形,周长相等,面积相等,现在要用一个反证明来证明这两个等腰三角形不是全等三角形.

答案

在同一个平面上的两个等腰三角形,周长相等,面积相等,用一个反证法证明这两个等腰三角形不一定是全等三角形.
证明：假定这两个三角形必是全等三角形,那就是说任意可匹配的周长和面积都可唯一确定一个等腰三角形.设取周长2p、面积s可确定高为h、底角为A的一个等腰三角形,则s/p²=f(A) 不含h,f(A)的定义域为(0,π/2).
一方面,按斯坦纳等周定理,f(A)在A=π/3,即三角形为等边三角形时取得极(最)小值(√3)/9.
另一方面,按唯一解假设,f(A)应该是一个严格单调函数,所以不存在极值.
矛盾!故假设不合理,那么这两个三角形不一定必是全等三角形.