在三角形ABC中,向量m=(sinB+sinC,sinA-sinB),n=(sinB-sinC,sin(B+C)),且m垂直n,求角C?

题目

在三角形ABC中,向量m=(sinB+sinC,sinA-sinB),n=(sinB-sinC,sin(B+C)),且m垂直n,求角C?

答案

因为m垂直n
所以m×n=0(要加向量符号)
即(sinB+sinC,sinA-sinB)×(sinB-sinC,sin(B+C))=0
又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA
所以原式=[(sinB+sinC)×(sinB-sinC)]+[(sinA-sinB)×sinA]=sinB平方-sinC平方+sinA平方-sinAsinB=0
根据正弦定理把角化成边:
=b平方-c平方+a平方-ab=0即a方+b方-c方=ab ①
cosC=a方+b方-c方/2ab 将①式带入得cosC=ab/2ab=二分之一
所以∠C=60°