已知函数f(x)=-x²+ax-lnx（a∈R）,当函数f(x)在(1/2,2)上单调是,求a的取值范围.

题目

已知函数f(x)=-x²+ax-lnx（a∈R）,当函数f(x)在(1/2,2)上单调是,求a的取值范围.
如题,

答案

要判断单调性,利用函数的导数
f'(x)=-2x+a-1/x
由于f(x)在(1/2,2)上单调
所以f'(x)在(1/2,2)上恒为非正或恒为非负
那么,我们需要找到f'(x)=-2x+a-1/x在(1/2,2)上的值域
可以利用均值不等式或者再求导来解决,这里再求导
f''(x)=-2+1/x²
可以看出,f''(1/2)>0然后f'‘(√2/2)=0,之后＜0
即f'(x)先增加,在√2/2达到最大,然后再减小
所以f'(x)最大值为f'(√2/2)=a-2√2
f'(1/2)=a-3,f'(2)=a-9/2所以f'(x)最小值为f'(2)=a-9/2
所以f'(x)恒非负的话,a-9/2≥0
f'(x)恒非正的话,a-2√2≤0
所以a的取值范围为a≥9/2或者a≤2√2