关于双曲线的数学题

题目

关于双曲线的数学题
已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为Y=正负根号3X,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程

答案

因为不知道焦点所在的坐标轴,则当焦点在x轴上时
设双曲线为x^2/a^2 - y^2/b^2 =1
由双曲线渐近线为y=正负根号3X可知,b/a=根号3 则b^2/a^2=3①
又焦点是(0,c) 根据点到直线距离公式得距离d=|-c|/根号(3+1)=c/2=3
∴c=6 又双曲线中,a^2+b^2=c^2=36 ②
∴由①,②得a^2=9 b^2=27
∴双曲线方程为x^2/9 - y^2/27=1
当焦点在y轴上时,
设双曲线为y^2/a^2-x^2/b^2=1
此时渐近线斜率为a/b=根号3 ③
又焦点是(0,c) 根据点到直线距离公式得距离d=|-c|/根号(3+1)=c/2=3
a^2+b^2=c^2=36 ④
③④联立解得a^2=27 b^2=9
∴双曲线方程为x^2/27 - y^2/9=1
综上,双曲线方程为x^2/9 - y^2/27=1或x^2/27 - y^2/9=1