已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0求证f(0)=1

题目

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0求证f(0)=1

答案

证明：令y=0.
∵f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
∴f(x+0)+f(x-0)=2f(x)f(0)
∴f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
∴2f(x)=2f(x)f(0)
∴f(x)=f(x)f(0)
∴f(x)f(0)-f(x)=0
∴f(x)(f(0)-1)=0
∵f(0)≠0
∴f(0)-1=0,即f(0)=1.