f(x)是定义在（0,+∞）上的减函数满足f(xy)=f(x)+f(y),如果f(x)+f(2.5-x)

题目

f(x)是定义在（0,+∞）上的减函数满足f(xy)=f(x)+f(y),如果f(x)+f(2.5-x)<0,则x的取值范围

答案

由f(xy)= f(x) + f(y)可知：
f(0)= f(0) + f(0),即 f(0) = 0;
又f(x) + f(2.5 - x) = f(x(2.5-x)) < 0 = f(0);
所以 f(x(2.5-x)) < f(0);
因为 f(x)是定义在（0,+∞）上的减函数,
所以 有 x(2.5-x) > 0;
然后有 0 < x < 2.5