2的n次方+1是完全平方数,n=3,还可以是几

题目

2的n次方+1是完全平方数,n=3,还可以是几

答案

设2^n+1=m*m,m为正整数
所以得到：2^n=(m-1)*(m+1)
所以m必须是奇数,设m=2k+1,k为正整数
所以2^n=4*k*(k+1）
所以2^(n-2)=k(k+1)
当k=1时,n=3
当k取其它正整数是由于k(k+1)必然含有一个奇数因子,但2^(n-2)不包含除1之外的奇数因子
所以k只能取1,也就是n只能等于3,没有其它数值了