f (x)=x^4+ax^3+2x²+b,若对于任意的a∈[-2,2],不等式f（x）≤1在[-1,0]上恒成立,求b的取值范围

题目

f (x)=x^4+ax^3+2x²+b,若对于任意的a∈[-2,2],不等式f（x）≤1在[-1,0]上恒成立,求b的取值范围
但是很难想,

答案

f (x)=x⁴+ax³+2x²+b,若对于任意的a∈[-2,2],不等式f（x）≤1在[-1,0]上恒成立,求b的取值范围
f′(x)=4x³+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4)
由于-2≦a≦2,故a²≦4,因此4x²+3ax+4的判别式Δ=9a²-64≦36-64=-280；于是f′(x)与x同号：当x0；故在-2≦a≦2的条件下,
f(x)在区间[-1,0]上单调减；minf(x)=f(0)=b；maxf(x)=f(-1)=1-a+2+b=3-a+b；故为使不等式
f(x)≤1在[-1,0]上恒成立,就应使f(x)的最大值3-a+b≦1,即应使b≦a-2；由于-2≦a≦2,
故-4≦a-2≦0；故应取b≦-4.