如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,请问BD与CD的长有什么关系?试给予证明.

题目

如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,请问BD与CD的长有什么关系?试给予证明.

答案

CD=BD
证明：
AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形
AB是圆的直径,D是圆上一点
所以∠ADB=90°,即AD⊥BD
所以在等腰△ABC中,底边上的高AD也是底边上的中线
所以CD=BD
……………………………………………………
也可以这样证明：
等腰三角形ABC中,AD⊥BC,则
AB=AC,AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°
所以Rt△ADB≌Rt△ADC （HL）
所以CD=BD
得证