已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 _ .
题目
已知F
1、F
2是椭圆的两个焦点,满足
⊥
的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ___ .
答案
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),可得F1(-c,0),F2(c,0)∵MF1•MF2=0,∴M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又∵M点总在椭圆内部,∴该圆内含于椭圆,可得c<b,平方得c2<b2,即c2<a2-c2...
根据垂直两个向量的数量积为0,可得M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.而M总在椭圆内部,说明该圆内含于椭圆,由此建立关于b、c的不等式,结合椭圆的平方关系化简整理即可得到椭圆离心率e的取值范围.
椭圆的简单性质.
本题给满足指向椭圆两个焦点的向量数量积为0,且该点总在椭圆内部,求椭圆的离心率范围,着重考查了椭圆的方程与简单几何性质等知识,属于基础题.
举一反三
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