已知正实数a,b满足:1/a²+8/b²=1,则a+b的最小值是

题目

已知正实数a,b满足:1/a²+8/b²=1,则a+b的最小值是
已知正实数a,b满足:1/a²+8/b²=1,则a+b的最小值是

答案

3^0.5就是根号3的意思
换元,设a=1/sinx,b=8^0.5/cosx,x在0到2pai
用万能公式sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),t属于R
于是a+b=(1+t^2)/(2t)+8^0.5(1+t^2)/(1-t^2) (*)
上式求导后另等于零,解出t=-2^0.5+3^0.5或是t=-2^0.5-3^0.5
因为a>0,b>0,所以t只能能等于=-2^0.5+3^0.5
根据导数的知识,（*）取到最小值一定是t等于这时取到的
t=-2^0.5+3^0.5,（*)取到最小值3×3^0.5
答案是3根号3