已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx−1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线
题目
已知a∈R,函数
f(x)=+lnx−1,g(x)=(lnx-1)e
x+x(其中e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)是否存在实数x
0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x
0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x
0的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵
f(x)=+lnx−1,
∴
f′(x)=−+=令f'(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna
③若a≥e,则f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值
.
.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为
.
(2)∵g(x)=(lnx-1)e
x+x,x∈(0,e],
∴g'(x)=(lnx-1)′e
x+(lnx-1)(e
x)′+1=
+(lnx−1)ex+1=(+lnx−1)ex+1.
由(1)可知,当a=1时,
f(x)=+lnx−1.
此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,即
+lnx−1≥0.(10分)
当x
0∈(0,e],
ex0>0,
+lnx0−1≥0,
∴
g′(x0)=(+lnx0−1)ex0+1≥1>0.
曲线y=g(x)在点x=x
0处的切线与y轴垂直等价于方程g'(x
0)=0有实数解.(13分)
而g'(x
0)>0,即方程g'(x
0)=0无实数解.、故不存在x
0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x
0处的切线与y轴垂直.
(1)讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值;
(2)将曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直转化成方程g'(x0)=0有实数解,只需研究导函数的最小值即可.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于中档题.
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