已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
题目
已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
答案
f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数)
令0<x1<x2≤1
f(x2)-f(x1) = 【2x2-a/x2】-【2x1-a/x1】
= 2(x2-x1) + a(1/x1-1/x2)
= 2(x2-x1) + a(x2-x1)/(x1x2)
= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)
∵x1<x2,∴x2-x1>0
∵0<x1<x2,∴x1x2>0
∵0<x1<x2≤1,∴0<x1x2<1
当a≥0时,2x1x2+a>0恒成立,此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)>0,f(x)在(0,1】单调增;
当a≤-2时,2x1x2+a<0恒成立,此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)<0,f(x)在(0,1】单调减;
当-2<a<0时,f(x)在(0,1】非单调.
举一反三
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