若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且f(x)≤4,则函数的解析式是多少?

题目

若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且f(x)≤4,则函数的解析式是多少?
1楼，注意是y≤4

答案

f(x)为偶函数,因为f(x)是二次函数,故其对称轴为y轴,f(x)=bx²＋(ab＋2a)x＋2a²,所以对称轴x=－(ab＋2a)/2b=0,即a(b＋2)=0,从而a=0或者b=－2.若a=0,则f(x)=bx²,由于y最大值为4,故这样的b不存在.若b=－2,则f(x)=(x＋a)(－2x＋2a)=－2(x＋a)(x－a)=－2(x²－a²),其最大值为2a²=4,解得a=±√2.从而f(x)=－2x²＋4.