是否存在锐角α,β,使α＋2β＝2π/3,tanα/2tanβ＝2－√3同时成立?若存在,求出α,β的度

题目

是否存在锐角α,β,使α＋2β＝2π/3,tanα/2tanβ＝2－√3同时成立?若存在,求出α,β的度

答案

首先将（1）化简为：α/2+β=π/3.
tan(α/2+β)=tan(π/3)=√3.=>)tanα/2+tanβ=√3*(1-tanα/2tanβ).
再与（2）组合求出tan（a/2)和tanβ的取值.
可求而得:
tan(a/2)=2-√3或tan（a/2）=1.
显然tan（a/2）=1不会成立.
而tan（a/2）=2-√3成立.
那么tanβ=1 =>β=π/4.
a=2π/3-π/2=π/6.
所以,存在这样的锐角.