已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x）

题目

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x）

答案

函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
（2）令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(x)为奇函数
即f(0)=f(x)+f(-x),从而 f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
（1）设任意实数x1,x2,且x1＜x2
则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
由已知条件,x＞0时,有f(x)＜0；
现在x2-x1＞0,所以得到f(x2-x1)＜0,
即f(x2)-f(x1)＜0,由于x1＜x2,且都是实数.
f(x)在R上是减函数.