求y的N阶导数,Y等于sinx的平方

题目

求y的N阶导数,Y等于sinx的平方

答案

因为 y =(sin x)^2,
所以 y' =2 sin x (sin x)'
=2 sin x cos x
= sin 2x,
y'' = 2 cos 2x
= 2 sin (2x +π/2),
y''' =4 cos (2x +π/2)
=4 sin (2x +π).
下面用数学归纳法证明,
y的n阶导数 =2^(n-1) sin [ 2x +(n-1)π ].(n∈N+)
(1) 当 n=1 时,等式成立.
(2) 假设 n=k 时,等式成立,
即 y的k阶导数 =2^(k-1) sin [ 2x +(k-1)π ],
则 y的(k+1) 阶导数 = (2^k) cos [ 2x +(k-1)π ]
= (2^k) sin [ 2x +kπ ].
即 当 n=k+1 时,等式成立.
综上,y的n阶导数 =2^(n-1) sin [ 2x +(n-1)π ].
= = = = = = = = =
高阶导数,常用数学归纳法,或莱布尼兹公式.