已知函数f（x）=xe-x（x∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f（x）＞g（x）．

题目

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f（x）＞g（x）．

答案

（1）求导函数，f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函数在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴函数在x=1时取得极大值f（1）=

1

e

；
（2）证明：由题意，g（x）=f（2-x）=（2-x）e^x-2，
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2，
∴F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，
当x＞1时，2x-2＞0，∴e^2x-2-1＞0，∵e^-x，＞0，∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在[1，+∞）上是增函数
∵F（1）=0，∴x＞1时，F（x）＞F（1）=0
∴当x＞1时，f（x）＞g（x）．