已知函数f(x)=xe-x(x∈R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x).
题目
已知函数f(x)=xe-x(x∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x).
答案
(1)求导函数,f′(x)=(1-x)e
-x,令f′(x)=0,解得x=1
由f′(x)>0,可得x<1;由f′(x)<0,可得x>1
∴函数在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
∴函数在x=1时取得极大值f(1)=
;
(2)证明:由题意,g(x)=f(2-x)=(2-x)e
x-2,
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe
-x-(2-x)e
x-2,
∴F′(x)=(x-1)(e
2x-2-1)e
-x,
当x>1时,2x-2>0,∴e
2x-2-1>0,∵e
-x,>0,∴F′(x)>0,
∴函数F(x)在[1,+∞)上是增函数
∵F(1)=0,∴x>1时,F(x)>F(1)=0
∴当x>1时,f(x)>g(x).
举一反三
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