如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证： （1）∠AOC=2∠ACD； （2）AC2=AB•AD．

题目

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：

（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC²=AB•AD．

答案

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：

1

2

∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD-

1

2

∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴

AC

AB

＝

AD

AC

，即AC²=AB•AD．（9分）