函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式. (2)作出g(t)的图象并求出g(t)的最小值.
题目
函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).
(1)试写出g(t)的函数表达式.
(2)作出g(t)的图象并求出g(t)的最小值.
答案
(1)由于函数f(x)=x
2-4x-4 的对称轴为 x=2,
当2<t时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上单调递增,
故函数的最小值g(t)=ft)=t
2-4t-4.
当t≤2≤t+1,即 1≤t≤2时,
函数的最小值g(t)=f2)=-8.
当t+1<2,即t<1时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上单调递减,
故函数的最小值g(t)=ft+1)=t
2-2t-7.
综上可得,g(t)=
| t2−4t−4 , t>2 | −8 ,1≤t≤2 | t2−2t−7 ,t<1 |
| |
.
(2)作出g(t)的图象,如图所示:
数形结合可得,g(t)的最小值为-8.
(1)由于函数f(x)=x2-4x-4 的对称轴为 x=2,分对称轴在闭区间的左边、中间、右边三种情况,分别求得函数f(x)的最小值,可得g(t)的解析式.
(2)作出g(t)的图象,数形结合可得,g(t)的最小值.
二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法;函数图象的作法.
本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,函数的图象的作法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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