已知关于x的方程4x²－8nx－3n＝2和x²－﹙n＋3﹚x－2n²＋2=0,问是否存在这样的n值,

题目

已知关于x的方程4x²－8nx－3n＝2和x²－﹙n＋3﹚x－2n²＋2=0,问是否存在这样的n值,
使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值；若不存在,请说明理由.

答案

x1,x2为第一个方程的根.有实根需有：delta=(8n)^2-16(-3n-2)=16(4n^2+3n+2)>=0.此式恒成立
x3,x4为第二个方程的根.x^2-(n+3)x-2(n-1)(n+1)=0-->x3=1-n,x4=2n+2,有整根则2n为整数.
(x1-x2)^2=(x1-x2)^2-4x1x2=4n^2+3n+2
当4n^2+3n+2=1-n--> 4n^2+4n+1=0---> n=-1/2,满足
当4n^2+3n+2=2n+2-->4n^2+n=0--> n=0,-1/4（舍去）
综合得：n=-1/2 or n=0