是否存在两个无理数使得这两个数的和跟积均为无理数 且其和跟积相等

题目

是否存在两个无理数使得这两个数的和跟积均为无理数 且其和跟积相等
是否存在两个无理数的和与这两个无理数的积相等 Why?

答案

设a,b为两个无理数,且令a+b=ab=c
则a,b为以下关于x的二次方程的两个实根：
0 = (x-a)(x-b) = x^2-(a+b)x+ab = x^2-cx+c
则a,b = x_1,2 = [c±sqrt(c^2-4c)]/2
当c取为一恰当的有理数时,sqrt(c^2-4c)为一无理数
则a,b自然为无理数
注：sqrt()为二次方根