若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围是_．

题目

若二次函数y=-x²+mx-1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围是______．

答案

由已知得，线段AB的方程为y=-x+3（0≤x≤3），
由于二次函数图象和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组

y＝−x2+mx−1 y＝−x+3，0≤x≤3

有两个不同的实数解．
消元得：x²-（m+1）x+4=0（0≤x≤3），
设f（x）=x²-（m+1）x+4，
则

△＝(m+1)2−4×4＞0 f(0)＝4≥0 f(3)＝9−3(m+1)+4≥0 0＜ m+1 2 ＜3

，
解得3＜m≤

10

3

．
故答案为：3＜m≤

10

3

．

联立方程，根据二次函数的图象与线段AB有两个不同交点求出m的范围；

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数和二次方程之间的关系是解决本题的关键．