已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结AC CF BD OD

题目

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结AC CF BD OD
(1)求证△ACH相似于△AFC
(2)猜想AH×AF与AE×AB的数量关系并证明猜想.
(3)探究：当点E位于何处时,S△AEC：S△BOD=1：并加以说明

答案

（1）
∵OA过圆心且CD⊥AB
∴弧AC=弧AD
∴∠F=∠ACD
又∵∠CAF=∠CAF
∴△ACH∽△AFC
（2）
连接BC
∵AD为直径
∴∠ACB=90°
又∵CE⊥AB
∴AE×AB=AC²
∵△ACH∽△AFC
∴AC/AH=AF/AC
∴AC²=AH×AF
∴AH×AF=AE×AB
（3）
S△AEC=1/2AE×CE
S△ODE=1/2OE×OD
S△OBD=1/2BO×DE
∴S△AEC：S△BOD=AE:BO=1:4
∴当AE=1/8AB时
S△AEC：S△BOD=1：4