已知sinθcosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根,求tanθ+cotθ的值

题目

已知sinθcosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根,求tanθ+cotθ的值

答案

∵sinθ、cosθ是关于x的方程x^2-ax+a=0的两个根
∴根据韦达定理有：
sinθ+cosθ=a,sinθcosθ=a
又∵(sinθ+cosθ)²
=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ
=1+2a
=a²
∴a²-2a=1
即a²-2a+1=2
(a-1)²=2
解得：a=1±√2
又∵方程有两根必须满足：
△=(-a)²-4a=a²-4a≥0
解得：a≥4或a≤0
∴a=1-√2
‍
tanθ+cotθ
=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ
=(sin²θ+cos²θ)/sinθcosθ
=[(sinθ+cosθ)²-2sinθcosθ]/sinθcosθ
=(a²-2a)/a
=a-2
=-1-√2
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