过抛物线y2=4x上一点P（4，4），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA与PB的斜率存在且互为相反数， （1）求y1+y2的值； （2）证明直线AB的斜率是非零常数．

题目

过抛物线y²=4x上一点P（4，4），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，
（1）求y₁+y₂的值；
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

答案

（1）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
由y₁²=4x₁，故kPA＝

y1−4

x1−4

＝

4

y1+4

(x1≠4)，
同理可得kPB＝

4

y2+4

(x2≠4)，
由PA，PB斜率互为相反数可得k_PA=-k_PB，
即

4

y1+4

＝−

4

y2+4

，
化为y₁+y₂=-8；
（2）设直线AB的斜率为k_AB，
由y₂²=4x₂，y₁²=4x₁
∴kAB＝

y2−y1

x2−x1

＝

y2−y1

y22 4 − y12 4

＝

4

y1+y2

＝

4

−8

＝−

1

2

（常数）．