概率统计的一道题,设二维随机变量(X,Y)在x轴,y轴及直线x+y+1=0所围成的区域D上服从均匀分布,求相关系数.

题目

概率统计的一道题,设二维随机变量(X,Y)在x轴,y轴及直线x+y+1=0所围成的区域D上服从均匀分布,求相关系数.
设二维随机变量(X,Y)在x轴,y轴及直线x+y+1=0所围成的区域D上服从均匀分布,求相关系数.
要E(X),E(Y),E(XY),COV(X,Y),D(X),D(Y)的具体值
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答案是-1/2额!

答案

f(x,y)=2
E(X)=∫[-1,0]dx∫[-1-x,0]2xdy
=∫[-1,0]2x(1+x)dx=(x^2+2/3*x^3)|[-1,0]=-1/3
同理：E(Y)=-1/3
E(XY)=∫[-1,0]dx∫[-1-x,0]2xydy
=∫[-1,0]xy^2|[-1-x,0]dx=-∫[-1,0]x(1+x)^2dx
=-(1/4*x^4+2/3*x^3+1/2*x^2)|[-1,0]=1/12
COV(X,Y)=E(XY)-EX*EY=-1/36
E(X^2)=∫[-1,0]dx∫[-1-x,0]2x^2dy
=∫[-1,0]2x^2(1+x)dx=(2/3*x^3+1/2*x^4)|[-1,0]=1/6
D(X)=E(X^2)-(EX)^2=1/18
同理：D(Y)=1/18