在三角形ABC中,C为钝角,且角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+c2=9b2,sinB=1/3

题目

在三角形ABC中,C为钝角,且角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+c2=9b2,sinB=1/3
1)求sinA的值
2）若AC=根号6,求△ABC的面积

答案

C为钝角,所以B为锐角.
sinB=1/3,则cos B=2√2/3.
根据余弦定理可得：cos B=( a^2+c^2-b^2)/(2ac),
将b^2=( a^2+c^2)/9代入上式可得：
2√2/3=8( a^2+c^2)/[9*(2ac)],
化简得：√2 ( a^2+c^2)=3ac,
即a^2-3√2/2*ac+c^2=0,
解得a=√2c或a=√2/2*c.
因为C为钝角,所以c>a,
所以只能是a=√2/2*c.
即c=√2a,代入a^2+c^2=9b^2可得：a^2=3b^2.
根据正弦定理,则有sin²A=3sin²B,
因为sinB=1/3,所以sin²A=1/3,
∴sinA=√3/3.
若AC=根号6,即b=√6,
由第（1）题知：a^2=3b^2,
所以a=3√2,
又因a^2+c^2=9b^2,
所以c=6.
∴三角形的面积=1/2*acsinB=3√2.