如图1,在三角形ABC中,AE平分角BAC(角C>角B),F为AE上的一点,且FD垂直BC于D
题目
如图1,在三角形ABC中,AE平分角BAC(角C>角B),F为AE上的一点,且FD垂直BC于D
(1)试推导角EFD与角B、角C的大小关系
(2)如图2,当F在AE的延长线上时,其余条件不变,判断你在(1)中推导的结论是否还成立?
答案
1)试探究∠EFD、∠B与∠C的关系;
因为FD⊥BC
所以,∠EFD=90°-∠FED
而,根据三角形的外角等于不相邻的内角之和,有:
∠FED=∠B+∠BAE
而,已知AE为∠BAC的平分线
所以,∠BAE=∠A/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+(∠A/2)]
而,∠A+∠B+∠C=180°
所以,∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2
(2)当点F在AE的延长线上时,如图2,其余条件都不变,你在题(1)中探究的结论还成立吗?并说明理由.
结论成立!
因为FD⊥BC
所以,∠EFD=90°-∠FED
而,∠FED与∠AEC为对顶角,所以:∠FED=∠AEC
而,根据三角形的外角等于不相邻的内角之和,有:
∠AEC=∠B+∠BAE
而,已知AE为∠BAC的平分线
所以,∠BAE=∠A/2
所以,∠AEC=90°-[∠B+(∠A/2)]
而,∠A+∠B+∠C=180°
所以,∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以,∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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