若线性目标函数z=x+y在线性约束条件x+y−3≤02x−y≤0y≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是 _．

题目

若线性目标函数z=x+y在线性约束条件

x+y−3≤0 2x−y≤0 y≤a

下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是 ______．

答案

解析：作出可行域如图：
由图可知直线y=-x与y=-x+3平行，若最大值只有一个，
则直线y=a必须在直线y=2x与y=-x+3的交点（1，2）的下方，故
故答案为：a≤2．

先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出何时目标函数z=x+y在线性约束条件

x+y−3≤0 2x−y≤0 y≤a

下取得最大值时的最优解只有一个，从而得到实数a的取值范围即可．

本题考点：简单线性规划的应用．

考点点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．