设a,b,c是实数,满足abc=1,证明：2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1

题目

设a,b,c是实数,满足abc=1,证明：2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1

答案

由 abc=1,可知a,b,c中可以有两个是负数,此时结论显而易见,以下证明三个均为正数时的情况用反证法
假设2a-(1/b)=2a-ac＞1,2b-(1/c)=2b-ab＞1,2c-(1/a)=2c-bc＞1
就2a-ac＞1则：1-2a+ac＜0,现在考虑一个抛物线：y=x²-2ax+ac
因为x=1代入抛物线式子中有y=1-2a+ac＜0
所以该抛物线经过x轴下方一点,所以开口向上抛物线与x轴必有两个不同交点,△＞0
所以4a²-4ac＞0 ,
a²＞ac
同理b²＞ab
c²＞bc
三个式子相乘：
a²b²c²＞a²b²c²
即1＞1
不成立,矛盾,所以假设错误.
因此2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
（简单题只能用初等方法解决,高等方法偏导听不懂,也解决不了)