若关于X的不等式X²-8X+20/mx²+2（m+1）+9m+4 ＜0 的解集是实数R,求实数m的取值范围

题目

若关于X的不等式X²-8X+20/mx²+2（m+1）+9m+4 ＜0 的解集是实数R,求实数m的取值范围

答案

x^2 -8x+20=(x-4)^2+4>0
所以分母mx^2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立
所以抛物线开口向下且△<0
m<0,
4(m+1)^2-4m(9m+4)<0
m^2+2m+1-9m^2-4m<0
8m^2+2m-1>0
(4m-1)(2m+1)>0
m>1/4和m<-1/2
m<0
所以m<-1/2