在线等待;如何将函数f(x)=ln(2+x) ,展开成x的幂级数,

题目

在线等待;如何将函数f(x)=ln(2+x) ,展开成x的幂级数,
100分,

答案

f(x)=ln(2+x)=ln[2*(1+x/2)]=ln2+ln(1+x/2)
而
（ln(1+x/2)）'=1/2*1/(1+x/2)
因为：
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n n=0,1,2...
所以：
1/(1+x/2)
=1-（x/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n(x/2)^n n=0,1,2...
则
（ln(1+x/2)）=1/2∫1/(1+x/2)=1/2*(x-1/2（x/2)^2+1/3(x/2)^3-1/4(x/2)^4+...+(-1)^n*1/n*(x/2)^n) n=0,1,2...
=∑(-1)^n*1/n*(x/2)^(n+1)
所以：
f(x)=ln(2+x)=ln[2*(1+x/2)]=ln2+ln(1+x/2)
=∑(-1)^n*(x/2)^(n+1)/n+ln2
∑上面为∞,下面是0