设数{an}前n项和Sn满足：S3＝3/2，且Sn＝1/3an+c(c为常数，n∈N*)． （1）求c的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn=λan+n2+n，若bn+1＞bn对一切n∈N*恒成

题目

设数{a

答案

（1）n=1时，a1＝

1

3

a1+c，∴a1＝

3

2

c，
n≥2时，Sn＝

1

3

an+c，Sn−1＝

1

3

an−1+c，两式相减化简得an＝−

1

2

an−1，由S3＝

3

2

得c＝

4

3

，
∴a₁=2，∴数列{a_n}是等比数列，an＝2×(−

1

2

)n−1
（2）∵b_n+1＞b_n，∴λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，∴

3

2

λan＜2n+2，∴

3

2

λ•(−

1

2

)n−1＜2n+2①当n为奇数时，λ＜

1

3

(2n+2)•2n−1∵

1

3

(2n+2)•2n−1随n的增大而增大，∴当n=1时，

1

3

(2n+2)•2n−1取得最小值为

4

3

，则要使对一切n∈N^*恒成立，则λ＜

4

3

；
②当n为偶数时，λ＞−

1

3

(2n+2)•2n−1∵

1

3

(2n+2)•2n−1随n的增大而减少，∴当n=2
时，

1

3

(2n+2)•2n−1取得最大值为−4，则要使对一切n∈N^*恒成立，则λ＞-4
综上知，−4＜λ＜

4

3

．