证明最高次项系数为1的整系数多项式方程的有理数解必是整数

题目

证明最高次项系数为1的整系数多项式方程的有理数解必是整数
就是个初等数论题,一元高次方程,最高次数项的系数为1,求证这种方程的有理根必为整数?

答案

设解为x=a/b,a,b是整数,且(a,b)=1.
将x代入方程,两边乘b^n
a^n +k1a^(n-1)b+.+k0a0b^n=0
左边只有a^n不含有b
所以b|a^n
b=(b,a^n)=1
x=a是整数