已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于( ) A.8π B.16π C.482π D.不确定的实数
题目
已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于( )
A. 8π
B. 16π
C. 48
π
D. 不确定的实数
答案
设矩形的两边长分别为x、y,得
xy=8≤(
)
2,得x+y≥4
.当且仅当x=y=2
时,等号成立.
∴当矩形ABCD是边长为2
的正方形时,矩形的周长最小
因此,沿对角线AC把△ACD折起,得到的三棱椎D-ABC的外接球,
球心是AC中点,AC长的一半为球半径,得R=
AC=
AD=2
∴三棱椎D-ABC的外接球表面积等于S=4πR
2=16π
故选:B
运用基本不等式,得当矩形ABCD是边长为2
的正方形时,矩形的周长最小.因此,三棱椎D-ABC的外接球以AC中点O为球心,半径等于AC长的一半,由此结合球的表面积公式和题中数据,即可得到球的表面积.
球内接多面体.
本题给出正方形翻折问题,求棱锥外接球的表面积,着重考查了基本不等式、正方形的性质和球的表面积公式等知识,属于基础题.
举一反三
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