已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于（　　） A.8π B.16π C.482π D.不确定的实数

题目

已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于（　　）
A. 8π
B. 16π
C. 48

2

π
D. 不确定的实数

答案

设矩形的两边长分别为x、y，得
xy=8≤（

x+y

2

）²，得x+y≥4

2

．当且仅当x=y=2

2

时，等号成立．
∴当矩形ABCD是边长为2

2

的正方形时，矩形的周长最小
因此，沿对角线AC把△ACD折起，得到的三棱椎D-ABC的外接球，
球心是AC中点，AC长的一半为球半径，得R=

1

2

AC=

2

2

AD=2
∴三棱椎D-ABC的外接球表面积等于S=4πR²=16π
故选：B

运用基本不等式，得当矩形ABCD是边长为2

2

的正方形时，矩形的周长最小．因此，三棱椎D-ABC的外接球以AC中点O为球心，半径等于AC长的一半，由此结合球的表面积公式和题中数据，即可得到球的表面积．

本题考点：球内接多面体．

考点点评：本题给出正方形翻折问题，求棱锥外接球的表面积，着重考查了基本不等式、正方形的性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．