已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数

题目

已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数
求证 对于任意的n属于N*,且n大于1时,都有lnn大于1/2+1/3+...+1/n成立

答案

a=1时,f(x)=lnx+(1-x)/x=lnx+1/x-1
f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²,当x>1时,f'(x)>0
所以,f(x)=lnx+1/x-1在(1,+∞)上是递增的.
f(1)=0,n/(n-1)>1
所以,f[n/(n-1)]>f(1)
即：f[n/(n-1)]>0
ln[n/(n-1)]+1/[n/(n-1)]-1>0
ln[n/(n-1)]+(n-1)/n-1>0
lnn-ln(n-1)>1/n 该式是很关键的.
因为：lnn-ln(n-1)>1/n
则：ln(n-1)-ln(n-2)>1/(n-1)
ln(n-2)-ln(n-3)>1/(n-2)
.
.
.
ln3-ln2>1/3
ln2-ln1>1/2
叠加得：lnn-ln1>1/2+1/3+1/4+.+1/n
即：lnn>1/2+1/3+1/4+.+1/n
证毕.