A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中

题目

A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中

答案

考察方程 (E-AB)x = 0,x是m维向量,设这方程的解空间V的维数是k,则k=m-R(E-AB).
设x是这方程的解,则ABx=Ex=x.这时BA(Bx)=B(ABx)=B(x)=(Bx),记y=Bx,有BA(y)=y,即
y是方程(E-BA)y = 0的解.记W是这方程的解空间.
任意y属于W,有BAy=y,记x=Ay,则Bx=y且AB(x)=A(Bx)=A(y)=x,即x属于V.
即B:V->W是V到W的满同态,同样A:W->V是W到V的满同态,故V和W同构.故其维数相等.
所以 m - R(E-AB) = n - R(E-BA)